روش نیوتن-رافسون

فرض کنید معادله‌ی $f(x) = 0$ در بازه‌ی $[a, b]$ دارای ریشه‌ی $r$ باشد و برای هر $x \in [a, b]$ همچنین فرض کنید $x_0$ تقریب نسبتاً مناسبی از $r$ باشد. در این روش در نقطه‌ی $(x_n, f(x_n))$ بر نمودار $y = f(x)$ خطی مماس می‌کنیم و نقطه‌ی برخورد این خط با محور $x$ ها را به عنوان تقریب جدیدی از ریشه در نظر می‌گیریم. فرض کنید $x_n$ جمله‌ی nام دنباله‌ی حاصل از این روش باشد. در این صورت داریم:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

نکته: روش نیوتن – رافسون حالت خاصی از روش تکرار ساده به ازای $g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$ است. نکته: شرط همگرایی روش نیوتن – رافسون این است که برای هر $x \in [a, b]$ داشته باشیم:

|f(x) f''(x)| < (f'(x))^2

نتیجه ۲٫۲: در نقطه‌ی شروع $x_0$ برای روش نیوتن باید داشته باشیم:

|f(x_0) f''(x_0)| < (f'(x_0))^2

نتیجه ۲٫۲: اگر $f(x)$ ناچیز هموار باشد و $x_0$ خیلی به $r$ نزدیک باشد شرط همگرایی روش نیوتن بر‌قرار است.

روش‌های مرتبط