روش نقطهٔ ثابت

فرض کنید معادله‌ی $f(x) = 0$ در بازه‌ی $[a, b]$ دارای ریشه‌ی منحصربه‌فرد باشد. در این روش معادله‌ی $f(x) = 0$ را تغییر داده و به معادله‌ی $x = g(x)$ تبدیل می‌کنیم به طوری که $g(x)$ در $[a, b]$ هم‌مرتب شده باشد. پس از تبدیل $x$ به نقطه‌ی اولیه‌ی $x_0$ متعلق به $[a, b]$ انتخاب می‌کنیم و دنباله‌ی $x_n$ را از رابطه‌ی بازگشتی $x_{n+1} = g(x_n)$ به‌دست می‌آوریم که ممکن است به ریشه‌ی $f(x) = 0$ همگرا شود.

تعریف: می‌گوییم تابع $f(x)$ روی بازه‌ی $[a, b]$ در شرط لیپ‌شیتر با ثابت $L$ صادق می‌کند هرگاه برای هر $x, x' \in [a, b]$ داشته باشیم:

الگوریتم روش تکرار ساده به صورت زیر است:

۱. $n = 1$ ۲. $x_n = g(x_{n-1})$ ۳. اگر شرط توقف برقرار است، آنگاه $x_n$ را به عنوان تقریبی مناسب از ریشه $r$ در نظر بگیر و متوقف شود. ۴. $n = n + 1$ و به مرحله ۲ برو.