خانه › آموزش روشها › انتگرالگیریروش سیمپسون انتگرال‌گیری
فرض کنید هدف محاسبه‌ی تقریبی انتگرال ∫ x i x i + 2 f ( x ) d x \int_{x_i}^{x_{i+2}} f(x) dx ∫ x i x i + 2 f ( x ) d x f ( x ) f(x) f ( x ) x i x_i x i x i + 1 x_{i+1} x i + 1 x i + 2 x_{i+2} x i + 2
∫ x i x i + 2 f ( x ) d x ≈ h ∫ 0 1 [ f i + s Δ f i + s ( s − 1 ) 2 Δ 2 f i ] d s = h [ f i + 2 3 f i + 1 + 1 6 f i + 2 ] \int_{x_i}^{x_{i+2}} f(x) dx \approx h \int_{0}^{1} \left[ f_i + s \Delta f_i + \frac{s(s-1)}{2} \Delta^2 f_i \right] ds = h \left[ f_i + \frac{2}{3} f_{i+1} + \frac{1}{6} f_{i+2} \right] ∫ x i x i + 2 f ( x ) d x ≈ h ∫ 0 1 [ f i + s Δ f i + 2 s ( s − 1 ) Δ 2 f i ] d s = h [ f i + 3 2 f i + 1 + 6 1 f i + 2 ] بنابراین:
∫ x i x i + 2 f ( x ) d x ≈ h 3 ( f i + 4 f i + 1 + f i + 2 ) \int_{x_i}^{x_{i+2}} f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left( f_i + 4 f_{i+1} + f_{i+2} \right) ∫ x i x i + 2 f ( x ) d x ≈ 3 h ( f i + 4 f i + 1 + f i + 2 ) روش سیمپسون مرکب
برای محاسبه‌ی تقریبی انتگرال معین ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x) dx ∫ a b f ( x ) d x h = b − a 2 n h = \frac{b - a}{2n} h = 2 n b − a a = x 0 , x 1 , … , x 2 n = b a = x_0, x_1, \ldots, x_{2n} = b a = x 0 , x 1 , … , x 2 n = b [ x i , x i + 2 ] [x_i, x_{i+2}] [ x i , x i + 2 ]
∫ x 0 x 2 n f ( x ) d x ≈ S ( h ) = h 3 ( f 0 + 4 ∑ i = 0 n − 1 f 2 i + 1 + 2 ∑ i = 1 n − 1 f 2 i + f 2 n ) \int_{x_0}^{x_{2n}} f(x) dx \approx S(h) = \frac{h}{3} \left( f_0 + 4 \sum_{i=0}^{n-1} f_{2i+1} + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f_{2i} + f_{2n} \right) ∫ x 0 x 2 n f ( x ) d x ≈ S ( h ) = 3 h ( f 0 + 4 i = 0 ∑ n − 1 f 2 i + 1 + 2 i = 1 ∑ n − 1 f 2 i + f 2 n ) فرمول به دست آمده را فرمول روش سیمپسون مرکب می‌نامند. نکته: روش سیمپسون را زمانی می‌توان به کار گرفت که تعداد نقاط به صورت 2 n + 1 2n + 1 2 n + 1
روش‌های مرتبط 
MathTech