MathTech

تفاضل تقسیم‌شدهٔ نیوتن

درون‌یابی · رایگان در برنامه

تابع جدولی زیر را در نظر بگیرید:

xix0x1⋯xnfif0f1⋯fn\begin{array}{c|ccc} x_i & x_0 & x_1 & \cdots & x_n \\ \\ f_i & f_0 & f_1 & \cdots & f_n \\ \end{array}

چندجمله‌ای درونیاب پیشرو نیوتن برحسب تفاضلات تقسیم‌شده به صورت زیر می‌باشد:

Pn(x)=f0+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,…,xn](x−x0)⋯(x−xn−1)\begin{array}{lcr} P_n(x) &=& f_0 + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1)\\ &+& \cdots + f[x_0, x_1, \ldots, x_n](x - x_0) \cdots (x - x_{n-1}) \end{array}

که در آن f[x0,x1,…,xk]f[x_0, x_1, \ldots, x_k] تفاضل تقسیم‌شده‌ی پیشرو مرتبه‌ی kk ام در نقطه‌ی x0x_0 است.

چندجمله‌ای درونیاب پسرو نیوتن برحسب تفاضلات تقسیم‌شده به صورت زیر تعریف می‌شود:

Pn(x)=fn+f[xn,xn−1](x−xn)+f[xn,xn−1,xn−2](x−xn)(x−xn−1)+⋯+f[xn,xn−1,…,xn−k](x−xn)(x−xn−1)⋯(x−xn−k+1)\begin{array}{lcr} P_n(x)& =& f_n + f[x_n, x_{n-1}](x - x_n) \\ &+& f[x_n, x_{n-1}, x_{n-2}](x - x_n)(x - x_{n-1})\\ &+& \cdots + f[x_n, x_{n-1},\\ && \ldots, x_{n-k}](x - x_n)(x - x_{n-1}) \cdots (x - x_{n-k+1}) \end{array}

که در آن f[xn,xn−1,…,xn−k]f[x_n, x_{n-1}, \ldots, x_{n-k}] تفاضل تقسیم‌شده‌ی پسرو مرتبه‌ی kk ام در نقطه‌ی xnx_n است.

روش‌های مرتبط