اسپلاین مکعبی

تابع $S(x)$ را درونیاب اسپلاین مکعبی در نقاط $x_0, x_1, \ldots, x_n$ می‌نامیم اگر ۷ خاصیت زیر برقرار باشند:

۱) روی هر زیر بازه‌ی $[x_i, x_{i+1}]$ برای هر x داشته باشیم $S(x) = S_i(x)$ یعنی

S(x) = \begin{cases} S_0(x) & , x \in [x_0, x_1] \\ S_1(x) & , x \in [x_1, x_2] \\ \vdots \\ S_{n-1}(x) & , x \in [x_{n-1}, x_n] \end{cases}

۲) برای هر $i = 0, 1, \ldots, n$ تابع $S_i(x)$ یک چند جمله‌ای از درجه‌ی حداکثر ۳ است.

۳) برای هر $i = 0, 1, \ldots, n$ داشته باشیم $S_i(x_i) = f_i$ . از طرفی $S_{n-1}(x_n) = f_n$ یعنی برای هر $i = 0, 1, \ldots, n-1$ داشته باشیم $S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1})$ .

۴) برای هر $i = 0, 1, \ldots, n-2$ داشته باشیم $S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1})$ .

۵) برای هر $i = 0, 1, \ldots, n-1$ داشته باشیم $S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1})$ .

۶) برای هر $i = 0, 1, \ldots, n-1$ داشته باشیم $S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1})$ .

۷) یکی از شرایط مرزی زیر برقرار باشد:

الف) شرط مرزی آزاد(اسپلاین طبیعی):

S''(x_0) = S''(x_n) = 0

ب) شرط مرزی مشتق دوم:

S''(x_0) = f''(x_0) \quad و \quad S''(x_n) = f''(x_n)

قرار می‌دهیم

h_i = x_{i+1} - x_i, \quad i = 0, 1, \ldots, n

همچنین قرار می‌دهیم

S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3

برای $S(x)$ داریم

a_i = f_i, \quad i = 0, 1, \ldots, n

$c_i$ ها از دستگاه معادلات خطی زیر به دست می‌آیند.

\begin{cases} c_0 = \frac{1}{3} S''(x_0) \\ h_{i-1}c_{i-1} + 2(h_{i-1} + h_i)c_i + h_ic_{i+1} = \frac{3}{h_i} (a_{i+1} - a_i) - \frac{3}{h_{i-1}} (a_i - a_{i-1}), & i = 1, \ldots, n-1 \\ c_n = \frac{1}{3} S''(x_n) \end{cases}

$d_i$ ‌ها نیز از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود.

d_i = \frac{c_{i+1} - c_i}{3h_i}, \quad i = 0, 1, \ldots, n-1

و در نهایت، $b_i$ ‌ها به صورت زیر به دست می‌آیند

b_i = \frac{1}{h_i} (a_{i+1} - a_i) - \frac{h_i}{3} (2c_i + c_{i+1}), \quad i = 0, 1, \ldots, n-1

روش‌های مرتبط