سیمپلکس در ۵ دقیقه: یک مثال کامل

کارخانه‌ای دو محصول تولید می‌کند. سود هر واحد ۳ و ۵ میلیون تومان است. محدودیت‌ها:

\max Z=3x_1+5x_2 \quad\text{s.t.}\quad x_1\le 4,\;\; 2x_2\le 12,\;\; 3x_1+2x_2\le 18,\;\; x_1,x_2\ge 0

گام ۰: شکل استاندارد. برای هر قید یک متغیر کمکی اضافه می‌کنیم: $x_1+s_1=4$ ، $2x_2+s_2=12$ ، $3x_1+2x_2+s_3=18$ . پایهٔ اولیه $\{s_1,s_2,s_3\}$ است و $Z=0$ .

گام ۱. در سطر $Z$ ضرایب $z_j-c_j$ برابر $-3$ و $-5$ هستند؛ منفی‌ترین $-5$ است، پس $x_2$ وارد پایه می‌شود. نسبت‌ها: $12/2=6$ و $18/2=9$ (قید اول ضریب صفر دارد). کمترین نسبت ۶ است، پس $s_2$ خارج می‌شود.

گام ۲. بعد از محوری‌سازی، $x_1$ با ضریب $-3$ وارد می‌شود. نسبت‌ها: $4/1=4$ و $6/3=2$ ← $s_3$ خارج می‌شود.

گام ۳. همهٔ ضرایب سطر $Z$ نامنفی‌اند؛ جدول بهینه است:

x_1=2,\quad x_2=6,\quad Z^{*}=36

بررسی با روش ترسیمی. ناحیهٔ شدنی یک چندضلعی با گوشه‌های $(0,0)$ ، $(4,0)$ ، $(4,3)$ ، $(2,6)$ و $(0,6)$ است. مقدار $Z$ در این گوشه‌ها به‌ترتیب ۰، ۱۲، ۲۷، ۳۶ و ۳۰ است؛ بیشینه همان $(2,6)$ می‌شود و با سیمپلکس یکسان است.

در MathTech این مسئله نمونهٔ پیش‌فرض روش سیمپلکس جدولی است؛ با اسلایدر می‌توانید جدول هر گام و عنصر محوری را ببینید.