اسپلاین مکعبی چیست و چرا از چندجمله‌ای درجهٔ بالا بهتر است؟

فرض کنید $n+1$ نقطهٔ داده دارید و می‌خواهید منحنی‌ای از همهٔ آن‌ها بگذرانید. ساده‌ترین راه، چندجمله‌ای درون‌یاب درجهٔ $n$ است. مشکل: با افزایش نقاط، چندجمله‌ای در دو سر بازه نوسان‌های شدید می‌کند (پدیدهٔ رانگه).

راه‌حل: تکه‌تکه فکر کنید. به‌جای یک چندجمله‌ای بزرگ، در هر بازهٔ $[x_i,x_{i+1}]$ یک چندجمله‌ای درجهٔ سه می‌گذاریم:

شرط‌ها طوری انتخاب می‌شوند که $S$ از همهٔ نقاط بگذرد و در هر نقطهٔ اتصال، خود تابع و مشتق اول و دوم پیوسته باشند. نتیجه منحنی‌ای است که چشم آن را «هموار» می‌بیند.

برای کامل‌شدن دستگاه دو شرط مرزی لازم است:

• اسپلاین طبیعی: $S''(x_0)=S''(x_n)=0$ — وقتی دربارهٔ شیب دو سر چیزی نمی‌دانیم.
• اسپلاین مقید (clamped): $S'(x_0)=f'(x_0)$ و $S'(x_n)=f'(x_n)$ — وقتی شیب دو سر معلوم است؛ معمولاً دقیق‌تر است.

مثال: برای $f(x)=e^x$ روی نقاط ۰، ۱، ۲، ۳ ضریب $b_0$ اسپلاین طبیعی تقریباً ۱٫۴۶۶ می‌شود (در حالی که شیب واقعی در صفر ۱ است)؛ اسپلاین مقید این اختلاف را از بین می‌برد.

کاربردها: رسم مسیر در گرافیک و رباتیک، هموار کردن داده‌های اندازه‌گیری و طراحی منحنی. در MathTech می‌توانید نقاط خود را وارد کنید و ضرایب هر بازه و نمودار را ببینید.